Question

【题目】如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=1，AD=2，E为BC的中点，点M，N分别为棱DD1 ， A1D1的中点．

（1）求证：平面CMN∥平面A1DE；
（2）求证：平面A1DE⊥平面A1AE．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵M，N分别为棱DD1，A1D1的中点，∴MN∥A1D，

∵A1D平面A1DE，MN平面A1DE，∴MN∥平面A1CD．

∵E是BC中点，N是A1D1的中点，∴A1N=CE，A1N∥CE，

∴四边形A1ECN是平行四边形，∴CN∥A1E，

∵A1E平面A1DE，CN平面A1DE，∴CN∥平面A1CD，

又∵MN∩CN=N，MN平面MCN，CN平面MCN，

∴平面CMN∥平面A1DE．

（2）

证明：∵AA1⊥平面ABCD，DE平面ABCD，

∴AA1⊥DE．

∵AB=1，AD=2，E为BC的中点，

∴ ，

∴EA2+ED2=AD2，即AE⊥DE．

∵AA1平面AA1E，AE平面AA1E，AE∩AA1=A，

∴DE⊥平面A1AE．

又DE平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面A1AE．

【解析】（I）由中位线定理可得MN∥A1D，由长方体的结构特征可得四边形A1ECN是平行四边形，故CN∥A1E，从而平面CMN∥平面A1DE；（2）由AA1⊥平面ABCD可得AA1⊥DE，由线段的长度可由勾股定理的逆定理得出AE⊥DE，故DE⊥平面A1AE，从而平面A1DE⊥平面A1AE．
【考点精析】利用平面与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知判断两平面平行的方法有三种:用定义；判定定理；垂直于同一条直线的两个平面平行；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．