Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，且经过点A（0，﹣1）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如果过点 的直线与椭圆交于M，N两点（M，N点与A点不重合），求证：△AMN为直角三角形．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，且经过点A（0，﹣1），

∴b=1．

，解得a=2．

∴椭圆C的标准方程为 ．

（2）证明：若过点 的直线MN的斜率不存在，此时M，N两点中有一个点与A点重合，不满足题目条件．

若过点 的直线MN的斜率存在，设其斜率为k，则MN的方程为 ，

由 ，得 ．

设M（x1，y1），N（x2，y2），

则 ，

∴ ，

∵A（0，﹣1），

∴

=

∴AM⊥AN，∴△AMN为直角三角形．

【解析】（1）由椭圆C： =1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），求出b，由离心率为 ，求出a，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）设MN的方程为 ，与椭圆联立，得 ，由此利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积，结合已知条件能证明△AMN为直角三角形．