Question

【题目】抛物线y2=2px（p＞0）与直线y=x+1相切，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）（x1≠x2）是抛物线上两个动点，F为抛物线的焦点，且|AF|+|BF|=8．
（1）求p的值；
（2）线段AB的垂直平分线l与x轴的交点是否为定点，若是，求出交点坐标，若不是，说明理由；
（3）求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为抛物线y2=2px（p＞0）与直线y=x+1相切，

所以由 得：y2﹣2py+2p=0（p＞0）有两个相等实根．

即△=4p2﹣8p=4p（p﹣2）=0得：p=2为所求．

（2）解：抛物线y2=4x的准线x=1．且|AF|+|BF|=8，

所以由定义得x1+x2+2=8，则x1+x2=6．

设直线AB的垂直平分线l与x轴的交点C（m，0）．

由C在AB的垂直平分线上，从而|AC|=|BC|

即 ．

所以 ．

即（x1+x2﹣2m）（x1﹣x2）=4x2﹣4x1=﹣4（x1﹣x2）

因为x1≠x2，所以x1+x2﹣2m=﹣4．

又因为x1+x2=6，所以m=5，

所以点C的坐标为（5，0）．

即直线AB的垂直平分线l与x轴的交点为定点（5，0）．

（3）解：设直线l的斜率为k1，由（II）可设直线l方程为y=k1（x﹣5）．

设AB的中点M（x0，y0），由 ．可得M（3，y0）．

因为直线l过点M（3，y0），

所以y0=﹣2k1．

又因为点M（3，y0）在抛物线y2=4x的内部，

所以 ．

即 ，则 ．

因为x1≠x2，则k1≠0．

所以k1的取值范围为 ．

【解析】（1）联立切线和抛物线方程，由判别式等于0求解p的值；（2）由|AF|+|BF|=8，利用抛物线的定义转化为x1+x2+2=8，从而求出A，B两点横坐标的和，设出C的坐标，利用C在AB的垂直平分线上得|AC|=|BC|，代入两点间的距离公式后移向整理，代入两横坐标的和后可求m的值；（3）设出AB中点的坐标，写出直线l的方程，把AB中点坐标代入l的方程后得到AB中点坐标与直线l的斜率k的关系，由AB中点在抛物线内部列式求得k的取值范围．