Question

【题目】设命题p：方程x2+2mx+1=0有两个不相等的负根，命题q：x∈R，x2+2（m﹣2）x﹣3m+10≥0恒成立．
（1）若命题p、q均为真命题，求m的取值范围；
（2）若命题p∧q为假，命题p∨q为真，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：构造函数f（x）=x2+2mx+1

∵方程x2+2mx+1=0有两个不相等的负根

∴函数f（x）=x2+2mx+1图象与x轴负半轴有两个不同的交点

∴满足的条件为 ，即

∴实数m的取值范围m＞1

故实数m的取值范围（1，+∞），

若命题q为真，则有△=4（m﹣2）2﹣4（﹣3m+10）≤0

解得﹣2≤m≤3．

若p、q均为真命题，则 ，即1＜m≤3

（2）解：由p∨q为真，p∧q为假知，p、q一真一假．

①当p真q假时， ，

即m＞3；

②当p假q真时， ，

即﹣2≤m≤1．

∴实数m的取值范围是m＞3或﹣2≤m≤1．

综上可述，实数m的取值范围为（3，+∞）∪[﹣2，1]

【解析】（1）根据一元二次方程与一元二次函数的关系进行转化求解即可．（2）根据复合命题p∧q为假，命题p∨q为真，得到p、q一真一假，进行求解即可．
【考点精析】本题主要考查了复合命题的真假的相关知识点，需要掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真才能正确解答此题．