Question

7．（1）已知直线l₁经过点A（3，a）、B（a-2，3），直线l₂经过点C（2，3）、D（-1，a-2），若l₁⊥l₂求a的值？
（2）已知直线l过点P（-1，-2）且与x轴、y轴的负半轴交于A、B两点，求△AOB面积的最小值及此时l的方程？

Answer 1

分析 （1）当直线l₁和l₂中有一条斜率不存在时，经检验不符合条件．由 k₁k₂=-1，即$\frac{-3-a}{a-5}×\frac{a-5}{-3}$=-1，求得a的值；
（2）由题意设直线的截距式方程为为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1（a，b＜0），可得$\frac{-1}{a}+\frac{-2}{b}$=1，由基本不等式可得ab≥8，可得△AOB的面积S≥4，可得此时直线的方程．

解答 解：当a=5时，直线l₁的斜率不存在，此时直线l₂的斜率为0，满足l₁⊥l₂ ．
当a≠5时，由l₁⊥l₂ ，可得 k₁k₂=-1，即$\frac{-3-a}{a-5}×\frac{a-5}{-3}$=-1，化简可得 a=-6．
所以l₁⊥l₂，
a的值是-6或5．
（2）由题意设直线的截距式方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1（a，b＜0），
∵直线过P（-1，-2），∴$\frac{-1}{a}+\frac{-2}{b}$=1，
∴1=$\frac{-1}{a}+\frac{-2}{b}$≥2$\sqrt{\frac{2}{ab}}$，∴ab≥8，
当且仅当a=-2且b=-4时取等号，
∴△AOB的面积S=ab≥8，
∴△AOB面积的最小值为8，此时直线l的方程为$\frac{x}{-2}+\frac{y}{-4}$=1，
化为一般式方程可得2x+y+4=0．

点评 本题主要考查直线的斜率公式，两直线垂直的性质，体现了分类讨论的数学思想，考查直线的截距式方程，涉及基本不等式的应用，属中档题．