Question

15．如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D点为棱AB的中点．
（1）求证：AC₁∥平面B₁CD；
（2）若AB=AC=2，BC=BB₁=2$\sqrt{2}$，求二面角B₁-CD-B的余弦值；
（3）若AC₁，BA₁，CB₁两两垂直，求证：此三棱柱为正三棱柱．

Answer 1

分析 （1）连接BC₁交B₁C于E，连接DE，则DE是△BC₁A的中位线，所以AC₁∥DE，即可证明AC₁∥平面B₁CD；
（2）过B作BF⊥CD于F，连接B₁F，则CD⊥BB₁，CD⊥平面BB₁F，可得∠B₁FB为二面角B₁-CD-B的平面角；
（3）作A₁M⊥B₁C₁，AN⊥BC，垂足分别为M，N，连接BM，C₁N，证明△ABC是等边三角形，又三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，即可证明结论．

解答 （1）证明：连接BC₁交B₁C于E，连接DE，则DE是△BC₁A的中位线，所以AC₁∥DE
又  AC₁?平面B₁CD，DE?平面B₁CD
∴AC₁∥平面B₁CD．…（4分）
（2）解：过B作BF⊥CD于F，连接B₁F，则CD⊥BB₁∴CD⊥平面BB₁F，
∴∠B₁FB为二面角B₁-CD-B的平面角，设∠B₁FB=θ
由已知可得AB⊥AC，∴△ACD∽△FBD
∴$\frac{BF}{AC}=\frac{BD}{CD}⇒\frac{BF}{2}=\frac{1}{{\sqrt{5}}}⇒BF=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，${B_1}F=2•\sqrt{\frac{11}{5}}$，∴$cosθ=\frac{BF}{{{B_1}F}}=\frac{{\sqrt{11}}}{11}$，
即二面角B₁-CD-B的余弦值为$\frac{{\sqrt{11}}}{11}$．…（4分）
（3）证明：作A₁M⊥B₁C₁，AN⊥BC，垂足分别为M，N，连接BM，C₁N．
由已知可得  A₁M⊥平面B₁C₁CB，∴A₁M⊥B₁C
又  A₁B⊥B₁C，且A₁M，A₁B是平面A₁BM内的两条相交直线，
∴B₁C⊥平面A₁BM，∴B₁C⊥BM
同理  B₁C⊥C₁N
又 直线B₁C，C₁N，BM都在平面B₁C₁CB内，∴C₁N∥BM，
又C₁M∥BN，∴四边形C₁NBM是平行四边形，∴C₁M=BN，C₁N=BM
又△A₁C₁M≌△ANC∴C₁M=CN，∴CN=BN，∴AC=BC
同理AC=AB，
∴△ABC是等边三角形，又三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁为正三棱柱．…（4分）

点评 本题考查线面平行、垂直的证明，考查二面角B₁-CD-B的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．