Question

4．记[x]表示不超过x的最大整数，如[1.3]=1，[-1.3]=-2．设函数f（x）=x-[x]，若方程1-f（x）=log_ax有且仅有3个实数根，则正实数a的取值范围为（　　）

• A． （3，4]
• B． [3，4）
• C． [2，3）
• D． （2，3]

Answer 1

分析 分别作出函数y=1-f（x），y=log_ax的图象，可得a＞1．其中点（1，0）在函数y=log_ax的图象上，而不在函数
y=1-f（x）的图象上．由于方程1-f（x）=log_ax有且仅有3个实数根，可知：函数y=1-f（x）与y=log_ax的图象有且仅有3个交点，即可得出．

解答 解：分别作出函数y=1-f（x），y=log_ax的图象．
0＜a＜1时，不满足条件，舍去，因此a＞1．
其中点（1，0）在函数y=log_ax的图象上，而不在函数y=1-f（x）的图象上．
对于函数y=1-f（x），x∈[n，n+1）（n∈N），则y∈（0，1]．
由于方程1-f（x）=log_ax有且仅有3个实数根，
∴函数y=1-f（x）与y=log_ax的图象有且仅有3个交点，
∴log_a3≤1，log_a4＞1，
联立解得3≤a＜4．
故选：B．

点评 本题考查了通过函数图象的交点求出方程的根的个数、对数函数图象、取整函数的图象，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于难题．