Question

选修4-5：不等式选讲
已知a∈R，设关于x的不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4的解集为A．
（Ⅰ）若a=1，求A；
（Ⅱ）若A=R，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=1时，令f（x）=|2x-1|+|x+3|-2x-4，对x分x＜-3，-3≤x≤

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与x＞

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2

三类讨论，即可求得不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4的解集A；
（Ⅱ）通过对x≤-2，-2≤x＜-1及x≥-1的讨论，去掉所求不等式中的绝对值符号，利用不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4的解集为R，转化为恒成立问题解决即可．

解答：解：（Ⅰ）∵a=1，
∴|2x-1|+|x+3|≥2x+4，
令f（x）=|2x-1|+|x+3|-2x-4，
∴当x＜-3时，
f（x）=1-2x-x-3-2x-4=-5x-6，
由f（x）≥0得x≤-

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，
综上知，x＜-3；
当-3≤x≤

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2

时，f（x）=1-2x+x+3-2x-4=-3x，
由f（x）≥0得x≤0，
∴-3≤x≤0；
当x＞

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时，f（x）=2x-1+x+3-2x-4=x-2，
由f（x）≥0得x≥2，又x＞

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，
∴x≥2；
综上所述，x≤0或x≥2；
∴A={x|x≤0或x≥2}．
（Ⅱ）当x≤-2时，2x+4≤0，
∴|2x-a|+|x+3|≥0≥2x+4恒成立；
当x＞-2时，|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+3≥2x+4，
即|2x-a|≥x+1，
当-2≤x＜-1时，上式恒成立；
∵不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4的解集为R，
当x≥-1时，|2x-a|≥x+1恒成立，
∴2x-a≥x+1或2x-a≤-x-1恒成立
∴a≤x-1或a≥3x+1恒成立，
∴a≤（x-1）_min=-2，或a≥（3x+1）_max，
当x≥-1时，|（3x+1）_max不存在，
∴a≤-2，
∴a的取值范围为（-∞，-2]．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，考查抽象思维与创新思维能力，属于难题．