Question

（文科）设A、B分别是直线y=

2 5

5

x和y=-

2 5

5

x上的两个动点，并且|

AB

|=

20

，满足

OP

=

OA

+

OB

．（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若点D的坐标为（0，16），M、N是曲线C上的两个动点，且

DM

=λ

DN

（λ≠1），求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设动点P（x，y），再由题意设出A、B的坐标，根据

OP

=

OA

+

OB

列出坐标之间的关系，再由|

AB

|=

20

和向量模的公式，列出关于x和y的关系式，化简后得到所求的轨迹方程；
（2）设N（s，t），M（x，y），由

DM

=λ

DN

和D的坐标列出方程组，用s和t来表示x和y，再代入曲线方程消去s，求出t有关λ的表达式，再由|t|≤4求出λ的不等式．

解答：解：（1）设P（x，y），
由题可令A(x1，

2 5

5

x1)，B(x2，-

2 5

5

x2)，
∵

OP

=

OA

+

OB

，
∴

x=x1+x2 y= 2 5 5 (x1-x2).

即

x1+x2=x x1-x2= 5 2 y.

又∵|

AB

|=

20

，
∴(x1-x2)2+

4

5

(x1+x2)2=20，即有

5

4

y2+

4

5

x2=20．
∴轨迹C的方程为

x2

25

+

y2

16

=1
（2）设N（s，t），M（x，y），
则由

DM

=λ

DN

可得，（x，y-16）=λ（s，t-16），故x=λs，y=16+λ（t-16），
∵N、M在曲线C上，
∴

s2 25 + t2 16 =1 λ2s2 25 + (λt-16λ+16)2 16 =1

消去s得，

λ2(16-t2)

16

+

(λt-16λ+16)2

16

=1．
∵λ≠0且λ≠1，
∴t=

17λ-15

2λ

又∵|t|≤4，
∴|

17λ-15

2λ

|≤4，解得

3

5

≤λ≤

5

3

（λ≠1）
故实数λ的取值范围为

3

5

≤λ≤

5

3

（λ≠1）．

点评：本题主要考查了求轨迹方程和椭圆性质的综合应用．解题的前提是要求学生对基础知识有相当熟练的把握．