Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤1）
（1）求证：对任意的λ∈（0，1]，都有AC⊥BE；
（2）是否存在点E使AE与平面SBD所成的角θ满足sinθ=

3

4

，若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接BD交AC于点O，由底面ABCD是正方形，得AC⊥BD．由SD⊥平面ABCD，知SD⊥AC，由此能够证明AC⊥BE．
（2）由AC⊥平面SBD，知∠AEO是AE与平面SBD所成的角，即∠AEO=60°，由此能够推导出不存在满足条件的点E．

解答：（本小题满分13分）
（1）证明：连接BD交AC于点O，
由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD．
∵SD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴SD⊥AC，又SD、BD?平面SBD，且SD∩BD=D，
∴AC⊥平面SBD，又∵BE?平面SBD
∴AC⊥BE．…（6分）
（2）解：由（1）可知，AC⊥平面SBD，
∴∠AEO是AE与平面SBD所成的角，即∠AEO=60°，
在Rt△AOE中，AO=

2

2

a，
AE=

AD2+DE2

=

a2+(λa)2

=

1+λ2

a，
由sin∠AEO=

AO

AE

=

2

2 1+λ2

得，

2

2 1+λ2

=

3

4

，
解得λ2=

5

3

＞1与已知λ∈（0，1]矛盾，
所以不存在满足条件的点E．…（13分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，探索满足条件的点是否存在．解题时要认真审题，仔细解答，注意空间思维能力的培养．