Question

已知定义在R上的函数f（x）=x³-3x，（Ⅰ）若函数g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称，求函数g（x）的解析式
（Ⅱ）过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函数g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称，通过（-x，y）替换f（x）=x³-3x，即可求函数g（x）的解析式
（Ⅱ）通过f′（x）=3（x²-1），设切点为T（x₀，y₀），利用切线的斜率的关系式，得到的方程有3个根，构造函数h（x）=2x³-3x²+m+3，求出导数h′（x），令h'（x）=0，求出极值点，通过

h(0)=m+3＞0 h(1)=m+2＜0

，m的取值范围

解答：解：（Ⅰ）函数g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称，
函数f（x）=x³-3x，所以g（x）=-x³+3x              （4分）
（Ⅱ）f′（x）=3（x²-1），设切点为T（x₀，y₀），
则切线的斜率为k=3

x

2 0

-3=

y0-m

x0-1

=

x 3 0 -3x0-m

x0-1

，…6分
整理得2x³-3x²+m+3=0，依题意，方程有3个根．   …（7分）
设h（x）=2x³-3x²+m+3，则h′（x）=6x²-6x=6x（x-1）．
令h'（x）=0，得x₁=0，x₂=1，则h（x）在区间（-∞，0），[1，+∞）上单调递增，
在区间（0，1）上单调递减．…（11分）
因此，

h(0)=m+3＞0 h(1)=m+2＜0

，解得-3＜m＜-2．
所以m的取值范围为（-3，-2）．…（12分）

点评：本题是中档题，考查函数的导数与切线的斜率的关系，函数的极值的应用，考查转化思想，计算能力．