Question

已知直线x－2y＋2＝0经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x＝分别交于M，N两点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)求线段MN的长度的最小值；

(3)当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，请说明理由.

Answer 1

(1)由题知A(－2,0)，D(0,1)，故a＝2，b＝1，所以椭圆方程为：＋y²＝1.

(2)设直线AS的方程为y＝k(x＋2)(k>0)，从而可知M点的坐标为(，).

由得S(，)，

所以可得BS的方程为y＝－(x－2)，从而可知N点的坐标(，－)，

∴|MN|＝＋≥当且仅当k＝时等号成立，

故当k＝时，线段MN的长度取最小值.

(3)由(2)知，当|MN|取最小值时，k＝，此时直线BS的方程为x＋y－2＝0，S(，)，∴|BS|＝.要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的面积等于，只需T到直线BS的距离等于，所以点T在平行于直线BS且与直线BS的距离等于的直线l′上.直线BS：x＋y－2＝0；直线l′：x＋y＋m＝0，得m＝－或m＝－，

则直线l′：x＋y－＝0或x＋y－＝0，

，消去y得5x²－20x＋21＝0，Δ<0无解；

，消去y得5x²－12x＋5＝0，Δ＝44>0，有两个解，

所以点T有两个.