Question

已知直线x－2y＋2＝0经过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x＝分别交于M，N两点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)求证：直线AS与直线BS斜率的乘积为定值；

(3)求线段MN的长度的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为 　　故椭圆的方程为　4分 　　(2)设直线AS的斜率，直线BS的斜率的乘积为＝　8分 　　(3)解法一：直线AS的斜率显然存在，且＞0，故可设直线的方程为， 　　从而 　　由(2)知直线BS的方程为 　　从而，，当且仅当，即时等号成立 　　线段的长度取最小值　14分 　　解法二：直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为， 　　从而 　　由得0 　　设则得，从而 　　即又由得 　　故 　　又 　　当且仅当，即时等号成立 　　时，线段的长度取最小值　14分