已知函数(其中为自然对数的底数).
(1)求函数的单调区间;
(2)定义:若函数在区间上的取值范围为,则称区间为函数的“域同区间”.试问函数在上是否存在“域同区间”?若存在,求出所有符合条件的“域同区间”;若不存在,请说明理由.
(1)单调递增区间为和,单调递减区间为;(2)详见解析.
【解析】
试题分析:(1)先求出函数的定义域与导数,求出极值点,解有关导数的不等式,从而确定函数的单调增区间和减区间;(2)结合(1)中的结论可知,函数在区间上单调递增,根据定义得到,,问题转化为求方程在区间上的实数根,结合导数来讨论方程在区间上的实根的个数,从而确定函数在区间上是否存在“域同区间”.
试题解析:(1),定义域为,
且,
令,即,解得或;令,即,解得,
故函数的单调递增区间为和,单调递减区间为;
(2)由(1)知,函数在区间上是单调递增函数,
假设函数在区间上存在“域同区间”,则有,,
则方程在区间上有两个相异实根,
构造新函数,定义域为,
则,
设,则,
当时,,则恒成立,
因此函数在区间上单调递增,,,
故函数在区间上存在唯一零点,则有,
当时,;当时,,
故函数在区间上是单调递减函数,在区间上是单调递增函数,
因为,,,
所以函数在区间有且只有一个零点,
这与方程有两个大于的实根相矛盾,所以假设不成立!
所以函数在区间上不存在“域同区间”.
考点:1.利用导数求函数的单调区间;2.新定义;3.函数的零点
科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业七十三第十章第十节练习卷(解析版) 题型:选择题
在调查学生数学成绩与物理成绩之间的关系时,得到如下数据(人数):
| 物理 成绩好 | 物理 成绩不好 | 合计 |
数学成绩好 | 62 | 23 | 85 |
数学成绩不好 | 28 | 22 | 50 |
合计 | 90 | 45 | 135 |
那么有把握认为数学成绩与物理成绩之间有关的百分比为( )
(A)25% (B)75% (C)95% (D)99%
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科目:高中数学 来源:2014年高中数学全国各省市理科导数精选22道大题练习卷(解析版) 题型:解答题
若,其中.
(1)当时,求函数在区间上的最大值;
(2)当时,若,恒成立,求的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2014年陕西省咸阳市高考模拟考试(一)理科数学试卷(解析版) 题型:填空题
设命题:实数满足,其中;命题:实数满足且的必要不充分条件,则实数的取值范围是 .
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科目:高中数学 来源:2014年陕西省咸阳市高考模拟考试(一)理科数学试卷(解析版) 题型:选择题
某几何体的三视图如右图(其中侧视图中的圆弧是半圆),则该几何体的表面积为( )
A. B. C. D.
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科目:高中数学 来源:2014年广东省广州市毕业班综合测试一理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知函数的图象经过点.
(1)求实数的值;
(2)设,求函数的最小正周期与单调递增区间.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年(安徽专用)高考数学(文)仿真模拟卷1练习卷(解析版) 题型:填空题
“求方程x+x=1的解”有如下解题思路:设f(x)=x+x,则f(x)在R上单调递减,且f(2)=1,所以原方程有唯一解x=2.类比上述解题思路,不等式x6-(x+2)>(x+2)3-x2的解集是________.
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