Question

如图，梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，F分别在线段BC，AD上，EF∥AB．将四边形ABEF沿EF折起，连接AD，AC.

（Ⅰ）若BE＝3，在线段AD上一点取一点P，使，求证：CP∥平面ABEF；

（Ⅱ）若平面ABEF⊥平面EFDC，且线段FA,FC,FD的长成等比数列，求二面角E－AC－F的大小．

 

Answer 1

解：（Ⅰ）证法一：在梯形ABCD中，

AD∥BC， EF∥AB ，BE＝3，∴AF=3，

又AD＝6，BC＝4，∴EC=1，FD=3，    1分

在线段AF上取点Q，使，连接,  2分

∵，∴，

∵，∴，  3分

∴四边形ECPQ为平行四边形，∴，     4分

∵平面ABEF，平面ABEF，∴CP∥平面ABEF.       5分

证法二：同证法一，EC=1，FD=3， 1分

延长DC交FE的延长线于点M，连接，则， 2分

∵，∴，       4分

∵平面ABEF，平面ABEF，∴CP∥平面ABEF.       5分

证法三：同证法一，EC=1，FD=3， 1分

在线段DF上取点R，使，连接PR，CR，

∵，∴，

∵平面ABEF，平面ABEF，∴PR∥平面ABEF;       2分

∵， ∴

∵， ∴四边形ECRF为平行四边形，∴，

∵平面ABEF，平面ABEF，∴CR∥平面ABEF;      3分

∵，∴平面平面，    4分

∵平面PRC，∴CP∥平面ABEF.   5分

（Ⅱ）解法一：在梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，∴EF⊥AF， EF⊥FD，

∵平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF平面EFDC=，AF平面EFDC，

∴AF⊥平面EFDC，    6分

设，

∵EF＝BA＝2，∴，

∴，    7分

∵线段AF，FC，FD的长成等比数列，∴，

，化简得，

∴或（舍），     9分

以F为原点，FE，FD，FA分别为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，，      10分

∴，，

设是平面ACE的一个法向量，

则，即，

取，则，∴； 11分

又，，

设是平面ACF的一个法向量，

则，即，

取，则∴；    12分

∴，

∵ 二面角E-AC-F为锐角， ∴二面角E-AC-F为.  13分

解法二：同解法一得或（舍），     9分

，

∵，∴，

设点G为FC的中点，连接，则， 10分

∵AF⊥平面EFDC，平面AFC，∴平面AFC平面EFDC，

∵平面AFC平面EFDC=，∴EG⊥平面AFC，

∵平面AFC ， ∴EG⊥AC，       11分

过G作GH⊥AC交AC于H，连接EH，

∵EGGH=G， ∴AC⊥平面EGH，

∵EH平面EGH，∴AC⊥EH，

∴是二面角E-AC-F的平面角，   12分

在中，，

在中，，∴， ，∴，

∵为锐角， ∴，即二面角E－AC－F为.   13分