Question

4．如图，在平面直角坐标系中，|$\overrightarrow{OA}$|=2|$\overrightarrow{AB}$|=2，∠OAB=$\frac{2π}{3}$，$\overrightarrow{BC}$=（-1，$\sqrt{3}$）．
（1）求点B，C的坐标；
（2）求证：四边形OABC为等腰梯形．

Answer 1

分析 （1）平面直角坐标系中，先写出点A的坐标，再求出点B的坐标，由向量$\overrightarrow{BC}$求出点C的坐标；
（2）由向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{OC}$共线且不等，得出四边形OABC是梯形，再由|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，得出梯形OABC是等腰梯形．

解答 解：（1）平面直角坐标系中，|$\overrightarrow{OA}$|=2|$\overrightarrow{AB}$|=2，
∴A（2，0），
又∠OAB=$\frac{2π}{3}$，设点B（x，y），
则x=2+cos（π-$\frac{2π}{3}$）=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
y=sin（π-$\frac{2π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴点B（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
又$\overrightarrow{BC}$=（-1，$\sqrt{3}$），
∴点C的坐标为（$\frac{5}{2}$-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\sqrt{3}$），即（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）；
（2）证明：∵$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{5}{2}$-2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$-0）=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
$\overrightarrow{OC}$=（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$，
∴AB∥OC，四边形OABC是梯形；
又|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{BC}$|=2，
∴梯形OABC是等腰梯形．

点评 本题考查了利用平面向量的坐标表示与运算证明四边形是等腰梯形的应用问题，是基础题目．