Question

已知函数，曲线上是否存在两点，使得△是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在轴上.如果存在，求出实数的范围；如果不存在，说明理由.

Answer 1

存在，且实数的取值范围是.

试题分析：先将斜边的中点在轴上这一条件进行转化，确定点与点之间的关系，并将是以点为直角顶点条件转化为，进行得到一个方程，然后就这个方程在定义域上是否有解对自变量的取值进行分类讨论，进而求出参数的取值范围.
试题解析：假设曲线上存在两点、满足题意，则、两点只能在轴两侧，
因为是以为直角顶点的直角三角形，所以，
不妨设，则由的斜边的中点在轴上知，且，
由，所以  （*）
是否存在两点、满足题意等价于方程（*）是否有解问题，
（1）当时，即、都在上，则，
代入方程（*），得，即，而此方程无实数解；
（2）当时，即在上，在上，
则，代入方程（*）得，，即，
设，则，
再设，则，所以在上恒成立，
在上单调递增，，从而，故在上也单调递增，
所以，即，解得，
即当时，方程有解，即方程（*）有解，
所以曲线上总存在两点、，使得是以为直角顶点的直角三角形，
且此三角形斜边的中点在轴上，此时.