Question

19．已知函数f（x）=$\frac{a}{x}$-|x-a|，（a＞0，x＞0），
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当x∈（0，4]时，若f（x）≥x-3恒成立，求a的取值集合．

Answer 1

分析 （1）讨论a的取值范围即可求f（x）的单调区间；
（2）当x∈（0，4]时，若f（x）≥x-3恒成立，分别讨论a的取值范围即可求a的取值集合．

解答 解：（1）当x≥a时，f（x）=$\frac{a}{x}$-x+a，此时函数为减函数，即函数的单调递减区间为[a，+∞），
当x＜a时，f（x）=$\frac{a}{x}$+x-a，则函数在（0，$\sqrt{a}$）上递减，在[$\sqrt{a}$，+∞）递增，
若$\sqrt{a}$≥a，即0＜a≤1时，则函数在（0，a）上为减函数，
若$\sqrt{a}$＜a，即a＞1时，函数在（0，$\sqrt{a}$）上递减，在[$\sqrt{a}$，a）递增，
综上当0＜a≤1时，则函数在（0，+∞）上为减函数，
当a＞1时，则函数在（0，$\sqrt{a}$）上递减，在[$\sqrt{a}$，a）递增，（a，+∞）上为减函数．
（2）当0＜a≤4时，
当a≤x≤4时，$\frac{a}{x}$-x+a≥x-3，即2x²-（3+a）x-a≤0
设g（x）=2x²-（3+a）x-a，
则$\left\{\begin{array}{l}{g（a）≤0}\\{g（4）≤0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-4a≤0}\\{a≥4}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{0≤a≤4}\\{a≥4}\end{array}\right.$，解得a=4，
当0＜x＜a时，$\frac{a}{x}$+x-a≥x-3，即$\frac{a}{x}$+3-a≥0，
∴0＜a＜4，
当a＞4时，$\frac{a}{x}$+x-a≥x-3，即$\frac{a}{x}$+3-a≥0，解得a≤4不成立
综上所述，a=4．

点评 本题主要考查函数恒成立问题，根据绝对值的意义，利用分类讨论的思想进行求解，综合性较强，难度较大．