Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线： 经过伸缩变换后得到曲线.以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（Ⅰ）求出曲线、的参数方程；

（Ⅱ）若、分别是曲线、上的动点，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）， （2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意，根据伸缩公式可求得曲线的普通方程，再普通方程与参数方程的互换公式进行转换，从而求出曲线的参数方程，同理可根据互换公式，将曲线的极坐标方程转化为参数方程.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线是以点为圆心，半径的圆，则可任取曲线上的点，由两点间的距离公式，求出点到圆心的距离，从而求出，从而问题可得解.

试题解析：（Ⅰ）曲线： 经过伸缩变换，可得曲线的方程为，

∴其参数方程为（为参数）；

曲线的极坐标方程为，即，

∴曲线的直角坐标方程为，即，

∴其参数方程为（为参数）.

（Ⅱ）设，则到曲线的圆心的距离

，

∵，∴当时， .

∴ .