Question

17．在△ABC中，O是BC的中点，求证：AB²+AC²=2（BO²+AO²）

Answer 1

分析 由题意画出图形，把AB²+AC²转化为向量模的平方，进一步转化为向量的平方，结合向量的加法运算展开后得答案．

解答 证明：如图，

∵O是BC的中点，∴|$\overrightarrow{BO}$|=|$\overrightarrow{OC}$|，
则AB²+AC²=$|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$=$（\overrightarrow{AB}）^{2}+（\overrightarrow{AC}）^{2}$
=$（\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}）^{2}+（\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}）^{2}$=$|\overrightarrow{AO}{|}^{2}+2\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{OB}+|\overrightarrow{OB}{|}^{2}$$+|\overrightarrow{AO}{|}^{2}+2\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{OC}+|\overrightarrow{OC}{|}^{2}$
=$2（|\overrightarrow{AO}{|}^{2}+|\overrightarrow{OB}{|}^{2}）$$+2|\overrightarrow{AO}|•|\overrightarrow{OB}|cos∠AOB+2|\overrightarrow{AO}|•|\overrightarrow{OC}|cos∠AOC$
=$2（|\overrightarrow{AO}{|}^{2}+|\overrightarrow{OB}{|}^{2}）$=2（BO²+AO²）．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查数学转化思想方法，关键是用到$|\overrightarrow{a}{|}^{2}=（\overrightarrow{a}）^{2}$，是中档题．