Question

已知关于x的方程log₃（x-1）-k=0在区间[2，10]上有实数根，那么k的取值范围是

 

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Answer 1

分析：方法一：由题意可得，函数y=log₃（x-1）的图象和直线y=k在区间[2，10]上有交点，数形结合可得结论．
方法二：由题意可得k=log₃（x-1），再根据此函数在[2，10]上是增函数，求k的范围．

解答：解：方法一：由题意可得，函数y=log₃（x-1）的图象
和直线y=k在区间[2，10]上有交点，
如图所示：
数形结合可得 0≤k≤2，
故答案为[0，2]．
方法二：由关于x的方程log₃（x-1）-k=0，
可得k=log₃（x-1），
且此函数在其定义域（1，+∞）上是增函数．
再由x∈[2，10]，可得 log₃（2-1）≤k≤log₃（10-1），
即0≤k≤2，
故答案为：[0，2]．

点评：本题主要考查方程根的存在性及个数判断，对数函数的单调性的应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．