Question

已知A、B、C是球O的球面上三点，AB=2，BC=4，且∠ABC=60°，球心到平面ABC的距离为

3

，则球O的表面积为

 

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：利用余弦定理求出AC的长，进而由正弦定理求出平面ABC截球所得圆的半径，结合球心距，求出球的半径，代入球的表面积公式，可得答案．

解答： 解：在△ABC中，
∵AB=2，BC=4，且∠ABC=60°，
∴AC=

AB2+BC2-2•AB•BC•cos∠ABC

=

4+16-8

=2

3

，
由正弦定理可得平面ABC截球所得圆的半径（即△ABC的外接圆半径），
r=

AC

2sin∠ABC

=2，
又∵球心到平面ABC的距离d=

3

，
∴球O的半径R=

r2+d2

=

7

，
故球O的表面积S=4πR²=28π，
故答案为：28π．

点评：本题考查的知识点是球的体积和表面积，其中根据已知条件求出球的半径是解答本题的关键．