Question

设

a

，

b

为非零向量，λ∈R，满足|

a

+

b

|=λ|

a

-

b

|，则“λ＞1”是“

a

，

b

夹角为锐角”的（　　）

• A、充分不必要条件
• B、必要不充分条件
• C、充分必要条件
• D、既不充分也不必要条件

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：由已知两边平方可得(1-λ2)|

a

|2+2(1+λ2)

a

•

b

+(1-λ2)|

b

|2=0．结合向量数量积的定义，分析“λ＞1”⇒“

a

，

b

夹角为锐角”和“λ＞1”?“

a

，

b

夹角为锐角”的真假，最后结合充要条件的定义，可得答案．

解答： 解：由|

a

+

b

|=λ|

a

-

b

|，
两边平方得：(1-λ2)|

a

|2+2(1+λ2)

a

•

b

+(1-λ2)|

b

|2=0．
若“

a

，

b

夹角为锐角”，则

a

•

b

＞0，
又由题设知λ≥0，故λ＞1；
反之，若λ＞1，则

a

•

b

＞0，
但

a

，

b

夹角不一定为锐角，还有可能同向．
故“λ＞1”是“

a

，

b

夹角为锐角”的必要不充分条件．
故选：B．

点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．