Question

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球的体积为36π，则该长方体的表面积的最大值为

 

．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：设长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的长宽高分别为x，y，z，根据外接球的直径就是长方体对角线，且外接球的体积为36π，得到x²+y²+z²=36，进而根据基本不等式得到长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的表面积S=2xy+2yz+2zx≤72．

解答： 解：设长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的长宽高分别为x，y，z，
∵外接球的直径就是长方体对角线，且外接球的体积为36π，
∴

4

3

πR3=36π，
∴R=3，
∴长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球的直径为6，
则有x²+y²+z²=36，
则长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的表面积S=2xy+2yz+2zx≤x²+y²+z²+x²+y²+z²=72，
则长方体的表面积的最大值为72，
故答案为：72．

点评：本题考查的知识点是长方体的表面积，长方体的外接球，球的体积公式，基本不等式，难度中档．