Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn满足2Sn=an+1﹣2n+1+1，n∈N* ， 且a1 ， a2+5，a3成等差数列．
（1）求a1的值；
（2）求数列{an}的通项公式．

Answer 1

【答案】
（1）解：在2Sn=an+1﹣2n+l+1中，

令n=1得：2S1= ，即a2=2a1+3 ①

令n=2得： ，即a3=6a1+13 ②

又2（a2+5）=a1+a3 ③

联立①②③得：a1=1

（2）解：由2Sn=an+1﹣2n+l+1，得：

，

两式作差得 ，

又a1=1，a2=5满足 ，

∴ 对n∈N*成立．

∴ ．

∴ ．

则

【解析】（1）在题目给出的数列递推式中，分别取n=1，2，得到a2和a1 ， a3和a1的关系，结合a1 ， a2+5，a3成等差数列即可列式求得a1的值；（2）在数列递推式中，取n=n+1得到另一递推式，作差后得到 ，验证可知n=1时该等式成立，由此得到 ．说明数列{ }为等比数列，由等比数列的通项公式求得 ，则数列{an}的通项公式可求．