Question

三个女生和五个男生排成一排,

(1)如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法?

(2)如果女生必须全分开,可有多少种不同的排法?

(3)如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法?

(4)如果两端不能都排女生,可有多少种不同的排法?

Answer 1

思路解析:解决排列、组合(组合下一节将学到,由于规律相同,顺便提及,以下遇到也同样处理)应用问题最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法.

若以位置为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其他位置.解决有两个以上约束条件的问题时,往往在考虑一个约束条件的同时要兼顾其他条件.

若以元素为主,需先满足特殊元素的要求、再处理其他的元素.

解:(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起,所以可以先把她们看成一个整体、这样同五个男生合在一起共有六个元素,排成一排有种不同排法.对于其中的每一种排法,三个女生之间又都有种不同的排法,因此共有·=4 320种不同的排法.

(2)(插空法)要保证女生全分开,可先把五个男生排好,每两个相邻的男生之间留出一个空当,这样共有4个空当,加上两边两个男生外侧的两个位置,共有六个位置,再把三个女生插入这六个位置中,只要保证每个位置至多插入一个女生,就能保证任意两个女生都不相邻.由于五个男生排成一排有种不同排法,对于其中任意一种排法,从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有种方法,因此共有·=14 400种不同的排法.

(3)法一:(位置分析法)因为两端不能排女生,所以两端只能挑选5个男生中的2个,有种不同排法,对于其中的任意一种排法,其余六位都有种排法,所以共有·=14 400种不同的排法.

法二:(间接法)3个女生和5个男生排成一排共有种不同的排法,从中扣除女生排在首位的种排法和女生排在末位的种排法,但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次,在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次,所以还需加一次回来.由于两端都是女生有种不同的排法,所以共有=14 400种不同的排法.

法三:(元素分析法)从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生排入,有种不同的排法,对于其中的任意一种排法,其余5个位置又都有种不同的排法,所以共有=14 400种不同的排法.

(4)法一:因为只要求两端不都排女生,所以如果首位排了男生,则末位就不再受条件限制了,这样可有种不同的排法;如果首位排女生,有种排法,这时末位就只能排男生,这样可有种不同的排法、因此共有=36 000种不同的排法.

法二:3个女生和5个男生排成一排有种排法,从中扣去两端都是女生的排法有种,就能得到两端不都是女生的排法种数为=36 000种.