Question

20．如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，且∠DAB=90°，∠ABC=45°，CB=$\sqrt{2}$，AB=2，PA=1．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）若M是PC的中点，求二面角M-AD-C的大小．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BC．在△ABC中，由余弦定理可得：AC²=2，因此AC²+BC²=AB²，可得AC⊥BC，即可证明BC⊥平面PAC．
（2）由（1）可得：AD=CD=1，分别以AD，AB，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．取平面ACD的法向量$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{AP}$=（0，0，1）．设平面ADM的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}$．利用cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$，即可得出．

解答 （1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，
在△ABC中，由余弦定理可得：AC²=${2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}$-2×$2×\sqrt{2}×cos4{5}^{°}$=2，
∴AC²+BC²=AB²=4，
∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，
又PC∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．
（2）解：由（1）可得：AD=CD=1，分别以AD，AB，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
则A（0，0，0），D（1，0，0），P（0，0，1），C（1，1，0），M（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），取平面ACD的法向量$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{AP}$=（0，0，1）．
设平面ADM的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AD}$=（1，0，0）．
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=0}\\{x=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=（0，1，-1）．
cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{2}}$，
设二面角M-AD-C的大小为θ，易知θ为锐角．∴cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，θ=45^°．
∴二面角M-AD-C的大小为45^°．

点评 本题考查了空间位置关系空间角、法向量的应用、向量垂直与数量积的关系、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．