Question

12．如图所示，四边形ABCD中，AB=1，AD=7，BC=CD=5，∠BAD=∠BCD=90°．
（1）求AC的长；
（2）E为BC中点，F为AD中点，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理可得AC²=25+1-10cosB①，AC²=25+49-70cosD②，由此求AC的长；
（2）E为BC中点，F为AD中点，利用平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，即可求EF的长．

解答 解：（1）由余弦定理可得AC²=25+1-10cosB①，AC²=25+49-70cosD②，
①×7+②，可得8AC²=256，∴AC=4$\sqrt{2}$；
（2）由（1）可得cosD=$\frac{3}{5}$，
CF²=25+$\frac{49}{4}$-2×$5×\frac{7}{2}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{65}{4}$，BF²=1+$\frac{49}{4}$=$\frac{53}{4}$，
∴25+4EF²=2（$\frac{65}{4}+\frac{53}{4}$），
∴EF=$\frac{\sqrt{34}}{2}$．

点评 本题考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用余弦定理、平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和是关键．