Question

7．关于x的方程x²=2k|x+2|有四个不同的实根，则实数k的取值范围为（4，+∞）．

Answer 1

分析 去绝对值号得出与原方程有4个根等价于x²-2kx-4k=0在[-2，+∞）上有两解，x²+2kx+4k=0在（-∞，-2）上有两解，根据二次函数的性质列出不等式组解出k的范围．

解答 解：当x≥-2时，x²-2kx-4k=0，
当x＜-2时，x²+2kx+4k=0，
∵关于x的方程x²=2k|x+2|有四个不同的实根，
∴关于x的方程x²-2kx-4k=0在[-2，+∞）上有两解，
关于x的方程x²+2kx+4k=0在（-∞，-2）上有两解．
∴$\left\{\begin{array}{l}{4{k}^{2}+16k＞0}\\{k＞-2}\\{4+4k-4k＞0}\\{4{k}^{2}-16k＞0}\\{-k＜-2}\\{4-4k+4k＞0}\end{array}\right.$，解得k＞4．
故答案为：（4，+∞）．

点评 本题考查了二次函数的性质，根的个数判断，不等式的解法，属于中档题．