Question

1．设函数f（x）=|x+2|-|2x-a|．
（1）当a=2时，解不等式f（x）≥-4；
（2）若f（x）≤4，对x∈R成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=2时：f（x）≥-4即：|x+2|-|2x-2|≥-4．通过x≤-2，-2＜x≤1，1＜x，去掉绝对值符号，然后求解不等式即可．
（Ⅱ）通过a＞-4，a=-4，a＜-4，化简函数的解析式，利用f（x）≤4，对x∈R成立，通过函数的最值，转化不等式，求解a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=2时：f（x）≥-4即：|x+2|-|2x-2|≥-4．
等价于$\left\{\begin{array}{l}{x≤-2}\\{-2-x+2x-2≥-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x≤1}\\{x+2+2x-2≥-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x+2-2x+2≥-4}\end{array}\right.$…（3分）
解得：x∈∅或x∈[$-\frac{4}{3}$，1]或x∈（1，8]
故不等式的解集为$[{-\frac{4}{3}}\right.，\left.8]$…（5分）
（Ⅱ）当$-2＜\frac{a}{2}$即：a＞-4时：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x-a-2，x＜-2\\ 3x+2-a，-2≤x≤\frac{a}{2}\\-x+a+2，x＞\frac{a}{2}\end{array}\right.$，
∴f（x）在$（{\frac{a}{2}，+∞}）$上递增，在$（{\frac{a}{2}，+∞}）$上递减
依题意：$f（{\frac{a}{2}}）=|{\frac{a}{2}+2}|≤4$解得：-4＜a≤4…（7分）
当$-2=\frac{a}{2}$，即a=-4时：f（x）=-|x+2|≤4对x∈R恒成立               …（8分）
当$-2＞\frac{a}{2}$，即$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{x-a-2，x＜\frac{a}{2}}\\{-3x+a-2，\frac{a}{2}≤x≤-2}\\{-x+a+2，x＞-2}\end{array}}\right.$
∴f（x）在$（{-∞，\frac{a}{2}}）$上递增，在$（{\frac{a}{2}，+∞}）$上递减
依题意：$f（{\frac{a}{2}}）=|{\frac{a}{2}+2}|≤4$，解得：-12≤a＜-4
综上所求：a的取值范围为[-12，4]．                            …（10分）

点评 本题考查函数恒成立，绝对值不等式的解法，函数的单调性以及函数的最值的综合应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．