Question

3．如图，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，DD₁⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=45°，且AD，AB，AA₁三条棱的长组成公比为$\sqrt{2}$的等比数列，
（1）求异面直线AD₁与BD所成角的大小；
（2）求二面角B-AD₁-D的大小．

Answer 1

分析 （1）不妨设AD=1，由AD，AB，AA₁三条棱的长组成公比为$\sqrt{2}$的等比数列，可得AB=$\sqrt{2}$，AA₁=2．在△ABD中，利用余弦定理可得：DB=1．利用勾股定理的逆定理可得∠ADB=90°．由DD₁⊥底面ABCD，可得DD₁⊥DB，可得DB⊥平面ADD₁，即可得出异面直线AD₁与BD所成角．
（2）由（1）可得：DB⊥平面ADD₁．在Rt△ADD₁中，经过点D作DO⊥AD₁，垂足为O，连接OB，可得OB⊥AD₁．∠BOD即为二面角B-AD₁-D的平面角．利用直角三角形的边角关系即可得出．

解答 解：（1）不妨设AD=1，∵AD，AB，AA₁三条棱的长组成公比为$\sqrt{2}$的等比数列，∴AB=$\sqrt{2}$，AA₁=2．
在△ABD中，DB²=${1}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}-2×1×\sqrt{2}×cos4{5}^{°}$=1，解得DB=1．∴AD²+DB²=AB²，∠ADB=90°．
∴AD⊥DB．
∵DD₁⊥底面ABCD，DB?平面ABCD，∴DD₁⊥DB，
又AD∩DD₁=D，
∴DB⊥平面ADD₁，
∴DB⊥AD₁，
∴异面直线AD₁与BD所成角为90^°．
（2）由（1）可得：DB⊥平面ADD₁．
在Rt△ADD₁中，经过点D作DO⊥AD₁，垂足为O，连接OB，则OB⊥AD₁．
∴∠BOD即为二面角B-AD₁-D的平面角．
在Rt△ADD₁中，OD=$\frac{AD×D{D}_{1}}{A{D}_{1}}$=$\frac{1×2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
在Rt△ODB中，tan∠BOD=$\frac{DB}{OD}$=$\frac{1}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴∠BOD=arctan$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了空间位置关系空间角、直角三角形的边角关系及其面积计算公式、勾股定理及其逆定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．