Question

17．已知数列{a_n}前n项和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹
（1）求数列{a_n}的通项公式：
（2）若不等式2n²-n-3＜（5-λ）a_n对?n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先证明数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以2为首项，1为公差的等差数列；要证明数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是等差数列，先根据s_n-s_n-1=a_n，用作差法得到a_n，a_n-1的关系，再用定义证明，即可得到通项公式；
（2）若不等式2n²-n-3＜（5-λ）a_n对?n∈N^*恒成立，求λ的取值范围，用分离参数法，5-λ＞$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$对?n∈N^*恒成立，根据数列的函数特征，即可求出λ的取值范围．

解答 解：（1）∵S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，
∴n=1时，S₁=a₁=2a₁-4，解得a₁=4，
当n≥2时，
∴S_n-1=2a_n-1-2ⁿ，
∴S_n-S_n-1=2a_n-2ⁿ⁺¹-2a_n-1+2ⁿ=a_n，
∴a_n=2a_n-1+2ⁿ，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{2{a}_{n-1}+{2}^{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+1-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，
∵$\frac{{a}_{1}}{2}$=$\frac{4}{2}$=2
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以2为首项，1为公差的等差数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=2+1×（n-1）=n+1，
∴a_n=（n+1）2ⁿ；
当n=1时，成立．
∴数列{a_n}的通项公式a_n=（n+1）2ⁿ；
（2）∵不等式2n²-n-3＜（5-λ）a_n对?n∈N^*恒成立，
∴2n²-n-3=（n+1）（2n-3）＜（5-λ）（n+1）2ⁿ对?n∈N^*恒成立，
∴5-λ＞$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$对?n∈N^*恒成立，
设b_n=$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$，
则b₁=-$\frac{1}{2}$，b₂=$\frac{1}{4}$，b₃=$\frac{3}{8}$，b₄=$\frac{5}{16}$，
当n≥4时，b_n-b_n-1=$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$-$\frac{2n-5}{{2}^{n-1}}$=$\frac{7-2n}{{2}^{n}}$＜0，
∴当n≥3时，数列{b_n}为递减数列，
∴当n=3时，数列{b_n}有最大值，最大值为$\frac{3}{8}$，
∴5-λ＞$\frac{3}{8}$，
∴λ＜$\frac{37}{8}$．

点评 本题考查了通项公式与前n项和公式的关系，等差数列的定义的应用．恒成立问题主要利用分离参数法转化为求最值问题解决．