Question

7．在平角坐标系xOy中，椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率$e=\frac{1}{2}$，且过点$（0，\sqrt{3}）$，椭圆C的长轴的两端点为A，B，点P为椭圆上异于A，B的动点，定直线x=4与直线PA、PB分别交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）在x轴上是否存在定点经过以MN为直径的圆，若存在，求定点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆经过的点，求出b，利用椭圆的离心率求解，a，b，得到椭圆方程．
（2）设PA、PB的斜率分别为k₁，k₂，P（x₀，y₀），求出斜率的表达式，利用斜率乘积推出定值．得到MN的中点G（4，3k₁+k₂）．写出以MN为直径的圆的方程，通过令y=0，求解存在定点（1，0），（7，0）经过以MN为直径的圆．

解答 解：（1）$\left\{{\begin{array}{l}{{e^2}=\frac{c^2}{a^2}=\frac{{{a^2}-{b^2}}}{a^2}=\frac{1}{4}}\\{{b^2}=3}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}=4}\\{{b^2}=3}\end{array}}\right.$，
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…（5分）
（2）设PA、PB的斜率分别为k₁，k₂，P（x₀，y₀），
取${k_1}=\frac{y_0}{{{x_0}+2}}，{k_2}=\frac{y_0}{{{x_0}-2}}$，${k_1}{k_2}=\frac{y_0^2}{x_0^2-4}=\frac{{3（1-\frac{x_0^2}{4}）}}{x_0^2-4}=\frac{{3•\frac{4-x_0^2}{4}}}{x_0^2-4}=-\frac{3}{4}$，…（7分）
由l_PA：y=k₁（x+2）知M（4，6k₁），由l_PB：y=k₂（x-2）知N（4，2k₂），
∴MN的中点G（4，3k₁+k₂）．
∴以MN为直径的圆的方程为${（x-4）^2}+{（y-3{k_1}-{k_2}）^2}=\frac{1}{4}{（6{k_1}-2{k_2}）^2}={（3{k_1}-{k_2}）^2}$，
令y=0，∴${x^2}-8x+16+9k_1^2+6{k_1}{k_2}+k_2^2=9k_1^2-6{k_1}{k_2}+k_2^2$，
∴x²-8x+16+12k₁k₂=0，∴${x^2}-8x+16+12×（-\frac{3}{4}）=0$，
即x²-8x+7=0，解得x=7或x=1．
∴存在定点（1，0），（7，0）经过以MN为直径的圆．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．