Question

19．已知f（x）=ax+xlnx（a∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若2f（x）一（k+1）x+k＞0（k∈Z）对任意x＞1都成立，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）由f′（1）=2得a，从而可得f′（x）=lnx+2，在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得函数的单调区间，从而求出函数的极值；
（2）不等式整理成k＜$\frac{2f（x）-x}{x-1}$，令g（x）=$\frac{x+2xlnx}{x-1}$，只需求出g（x）的最小值即可．

解答 解：（1）f'（x）=a+lnx+1，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，
∴f'（1）=a+1=2，∴a=1，
∴f'（x）=lnx+2，
当x∈（0，e^-2）时，f'（x）＜0，f（x）递减，
当x∈（e^-2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增，
∴f（x）的极小值是f（e^-2）=-e^-2，无极大值；
∴f（x）的单调递减区间为（0，e^-2），单调递增区间为（e^-2，+∞）；
（2）2f（x）-（k+1）x+k＞0，
∴k＜$\frac{2f（x）-x}{x-1}$，∴k＜$\frac{x+2xlnx}{x-1}$，
令g（x）=$\frac{x+2xlnx}{x-1}$，则g'（x）=$\frac{2x-3-2lnx}{{（x-1）}^{2}}$，
设h（x）=2x-3-2lnx，则h'（x）=2-$\frac{2}{x}$＞0，
∴h（x）在（1，+∞）上为增函数，
∵h（2）=1-2ln2＜0，h（3）=3-2ln3＞0，
∴?x₀∈（2，3），且h（x₀）=0，
当x∈（1，x₀）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）在（1，x₀）上单调递减；
当x∈（x₀，+∞）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）在（x₀，+∞）上单调递增．
∴g（x）_min=g（x₀）=$\frac{{x}_{0}+{2x}_{0}l{nx}_{0}}{{x}_{0}-1}$，
∵h（x₀）=2x₀-3-2lnx₀=0，
∴g（x₀）=2x₀，
∵x₀∈（2，3），
∴k的最大值为4．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题时合理构造函数是解题的关键．