Question

9．求函数f（x）=x²-2ax-1在[2，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析 对二次函数配方求得对称轴，讨论区间与对称轴的关系：a＜2和a=2、a＞2，判断函数的单调性，可得最小值．

解答 解：函数f（x）=x²-2ax-1=（x-a）²-a²-1，对称轴是x=a，
（1）当a＜2时，f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数，
可得f（x）的最小值为f（2）=3-4a；
（2）当a=2时，f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数，
可得f（x）的最小值为f（2）=-5；
（3）当a＞2时，f（x）在[2，a]上是单调递减函数，在[a，+∞）上是单调递增函数，
可得f（x）的最小值为f（a）=-a²-1．
综上可得：当a≤2时，f（x）的最小值为3-4a；当a＞2时，f（x）的最小值为-a²-1．

点评 本题考查二次函数的最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法，对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题．