Question

【题目】选修4﹣1：平面几何 如图AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．
（I）求证：∠DEA=∠DFA；
（II）若∠EBA=30°，EF= ，EA=2AC，求AF的长．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：连接AD，BC．
因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB=∠ACB=∠EFA=90°，
故A，D，E，F四点共圆，
∴∠DEA=∠DFA；
（Ⅱ）解：在直角△EFA和直角△BCA中，∠EAF=∠CAB，
所以△EFA∽△BCA，所以
所以AF×AB=AC×AE
设AF=a，则AB=3﹣a，所以a（3﹣a）= ，所以a2﹣2a+1=0，解得a=1
所以AF的长为1．
【解析】（Ⅰ）连接AD，BC，证明A，D，E，F四点共圆，可得结论；（Ⅱ）证明△EFA∽△BCA，可得 ，所以AF×AB=AC×AE，从而可求AF的长．