Question

【题目】如图，在圆心角为，半径为的扇形铁皮上截取一块矩形材料，其中点为圆心，点在圆弧上，点在两半径上，现将此矩形铁皮卷成一个以为母线的圆柱形铁皮罐的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，设矩形的边长，圆柱形铁皮罐的容积为.

（1）求圆柱形铁皮罐的容积关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；

（2）当为何值时，才使做出的圆柱形铁皮罐的容积最大？最大容积是多少？ (圆柱体积公式：，为圆柱的底面枳，为圆柱的高）

Answer 1

【答案】（1）；（2），.

【解析】分析：（1）先利用勾股定理可得OA,根据周长公式得半径，再根据圆柱体积公式求V(x)，最后根据实际意义确定定义域，（2）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定函数单调性，进而得函数最值.

详解：（1）连接OB，在Rt△OAB中，由AB=x，利用勾股定理可得OA＝，

设圆柱底面半径为r，则＝2πr，

即4＝3600－，所以V(x)＝π＝π··x＝，

即铁皮罐的容积为V(x)关于x的函数关系式为V(x)＝，定义域为(0，60).

（2）由V ′(x)＝＝0，x∈(0，60)，得x＝20．

列表如下：

x	(0，20)	20	(20，60)
V ′(x)	＋	0	－
V(x)	↗	极大值V(20)	↘

所以当x＝20时，V(x)有极大值，也是最大值为.

答：当x为20 cm时，做出的圆柱形铁皮罐的容积最大，最大容积是.