Question

（本小题满分12分）
如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面BCD，．求点A到平面MBC的距离。

Answer 1

解法一: （Ⅰ）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
∵AP=AB=2,BC=AD=,四边形ABCD是矩形.
∴A，B，C，D，P的坐标为A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2, ,0)，D(0，，0)，P(0,0,2)，
又E，F分别是AD，PC的中点，
∴E(0，，0)，F(1，，1).
∴=（2，，-2）=（-1，，1）=（1,0,1），
∴·=-2+4-2=0，·=2+0-2=0，
∴⊥，⊥，
∴PC⊥BF，PC⊥EF，BF ∩  EF=F,
∴PC⊥平面BEF，
（II）由（I）知平面BEF的法向量,
平面BAP 的法向量,
 ∴.    设平面BEF与平面BAP的夹角为 θ ，
则,
∴ θ=45°， ∴ 平面BEF与平面BAP的夹角为45°.
解法二 （I）连接PE，EC在和中.
PA="AB=CD," AE=DE,
∴ PE=" CE," 即 △PEC 是等腰三角形，
又F是PC 的中点，∴EF⊥PC,
又，F是PC 的中点，
∴  BF⊥PC.
又,∴.
（II）∵∴,
又ABCD是矩形，∴ABBC
∴BC平面BAP,BCPB,
又由（Ⅰ）知PC平面BEF,
∴ 直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角，
在中，∴
所以平面BEF与平面BAP的夹角为45°.

略