Question

已知在数列{a_n}中a₁=5，a₂=2，a_n=2a_n-1+3a_n-2，求{a_n}前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得a_n+a_n-1=3（a_n-1+a_n-2），令b_n-1=a_n+a_n-1，则b_n=3^n-1•b₁=7•3^n-1，令c_n+1=a_n+1-

7

4

×3ⁿ，则c_n=（-1）^n-1•c₁=

13

4

•(-1)n-1，由此能求出a_n=

7

4

×3n-1+

13

4

×(-1)n-1．从而能求出{a_n}前n项和S_n．

解答： 解：∵a₁=5，a₂=2，a_n=2a_n-1+3a_n-2，n≥3
∴a_n+a_n-1=3（a_n-1+a_n-2），
令b_n-1=a_n+a_n-1，则b₁=a₂+a₁=7，
则b_n-1=3•b_n-2，
从而b_n=3^n-1•b₁=7•3^n-1，
∴a_n+1+a_n=7•3^n-1，
∴a_n+1-

7

4

×3n=-（a_n-

7

4

×3n-1），
令c_n+1=a_n+1-

7

4

×3ⁿ，则c₁=5-

7

4

=

13

4

，
则c_n=（-1）^n-1•c₁=

13

4

•(-1)n-1，
∴a_n-

7

4

×3n-1=

13

4

×(-1)n-1，
∴a_n=

7

4

×3n-1+

13

4

×(-1)n-1．
∴当n为奇数时，S_n=

7

4

（1+3+3²+…+3^n-1）+

13

4

=

7

4

×

1-3n

1-3

+

13

4

=

7

8

×3n+

19

8

．
当n为奇偶时，S_n=

7

4

（1+3+3²+…+3^n-1）=

7

4

×

1-3n

1-3

=

7

8

×(3n-1)．
∴S_n=

7 8 ×3n+ 19 8 ，n为奇数 7 8 ×(3n-1)，n为偶数

．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法和分类讨论思想的合理运用．