Question

已知函数f（x）=2asinωxcosωx+2

3

cos²ωx-

3

（a＞0，ω＞0）d的最大值为2，x₁，x₂是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，且|x₁-x₂|的最小值为

π

2

．
（1）求函数f（x）的解析式及其对称轴；
（2）若f（a）=

4

3

，求sin（4a+

π

6

）的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式化简函数，结合x₁，x₂是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，且|x₁-x₂|的最小值为

π

2

，可知f（x）的周期为π，从而可求ω的值，根据最大值为2，可求a的值，从而可得函数的解析式，即可求出函数的对称轴；
（2）先求出sin（2a+

π

3

），再利用二倍角公式，即可求得sin（4a+

π

6

）的值．

解答：解：（1）f（x）=2asinωxcosωx+2

3

cos²ωx-

3

=asinωx+

3

cos2ωx，
由题意，x₁，x₂是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，且|x₁-x₂|的最小值为

π

2

，
∴f（x）的周期为π，
∴

2π

2ω

=π，∴ω=1…（2分）
∵f（x）最大值为2，
∴

a2+3

=2，
∵a＞0，∴a=1…（4分）
∴f（x）=2sin（2x+

π

3

）…（5分）
令2x+

π

3

=

π

2

+kπ，解得f（x）的对称轴为x=

π

12

+

kπ

2

（k∈Z）------------（7分）
（2）由f（a）=

4

3

知2sin（2a+

π

3

）=

4

3

，即sin（2a+

π

3

）=

2

3

，…（8分）
∴sin（4a+

π

6

）=sin[2（2a+

π

3

）-

π

2

]=-cos[2（2a+

π

3

）]=-1+2sin2²（2a+

π

3

）=-1+2×(

2

3

)2=-

1

9

…（12分）

点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于中档题．