Question

已知函数f（x）=2asin（2x+

π

6

）+a+b的定义域是[0，

π

2

]，值域是[-5，1]，求a、b的值．

Answer 1

分析：根据函数的定义域，可得-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1．因此分a的正负讨论，结合函数的值域建立关于a、b的不等式组，解之即可得到a、b的值，最后综上所述可得答案．

解答：解：∵0≤x≤

π

2

，∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1．
①当a＞0时，2asin（2x+

π

6

）∈[-a，2a]，得2asin（2x+

π

6

）+a+b∈[b，3a+b]
∴

b=-5 3a+b=1

，解之得a=2，b=-5；
②当a＜0时，2asin（2x+

π

6

）∈[2a，-a]，得2asin（2x+

π

6

）+a+b∈[3a+b，b]
∴

b=1 3a+b=-5

，解之得a=-2，b=1
综上所述，可得a=2，b=-5或a=-2，b=1．

点评：本题给出三角函数在给出区间上的值域，求参数a、b的值．着重考查了三角函数的图象与性质、函数的定义域与值域等知识，属于中档题．