Question

已知平面α∥平面β，AB、CD是夹在平面α和平面β间的两条线段，点E、F分别在AB、CD上，且

AE

EB

=

CF

FD

=

m

n

．求证：EF∥α∥β．

Answer 1

分析：若AB与CD共面，由平面与平面平行的性质可得 EF∥AC∥BD，故有EF∥α∥β．若AB与CD异面，过A作AA'∥CD，
在AA'截点O，使

AO

OA′

= 

AE

EB

=

CF

FD

=

m

n

，可证平面EOF∥α∥β，从而证得结论．

解答：证明：1°若AB与CD共面，设AB与CD确定平面γ，则α∩γ=AC，β∩γ=BD，
∵α∥β，∴AC∥BD，又∵

AE

EB

=

CF

FD

=

m

n

，∴EF∥AC∥BD，∴EF∥α∥β．
 2°若AB与CD异面，过A作AA'∥CD，
在AA'截点O，使

AO

OA′

= 

AE

EB

=

CF

FD

=

m

n

，∴EO∥BA'，OF∥A'D，
∴平面EOF∥α∥β，∴EF与α、β无公共点，∴EF∥α∥β．

点评：本题考查证明线面平行的方法，体现了分类讨论的数学思想，若AB与CD异面，过A作AA'∥CD，是解题的关键．