（1）解：设x∈（0，1]，则-x∈[-1，0），f（-x）=-2ax+
，
∵f（x）是奇函数．∴f（x）=2ax-
，x∈（0，1]．
（2）证明：∵f′（x）=2a+
，
∵a＞-1，x∈（0，1]，
＞1，
∴a+
＞0．即f′（x）＞0．
∴f（x）在（0，1]上是单调递增函数．
（3）解：当a＞-1时，f（x）在（0，1]上单调递增．
f（x）
max=f（1）=-6，?a=-
（不合题意，舍之），
当a≤-1时，f′（x）=0，x=
．
如下表：f
max（x）=f（
）=-6，解出a=-2
． x=
∈（0，1）．
∴存在a=-2
，使f（x）在（0，1）上有最大值-6．
分析：（1）∵f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，
∴可以利用f（-x）=-f（x）求当x∈（0，1]时，求f（x）的解析式；
（2）f（x）在（0，1）上的单调性，可以用判断在（0，1）上f'（x）与0的关系来确定．
（3）对a的取值对f'（x）与0的关系进行分类讨论，根据f（x）在（0，1）上的单调性和f（x）有最大值-6，构造方程进行求解．
点评：（1）若奇函数经过原点，则必有f（0）=0，这个关系式大大简化了解题过程，要注意在解题中使用．（2）对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义 （ 基本步骤为取 点、作差或作商、变形、判断）求解．可导函数则可以利用导数解之．（3）运用函数的单调性是求最值（或值域）的常用方法之一，特别对于抽象函数，更值得关注．
