【题目】已知圆C:x2+y2+2x﹣2y+1=0和抛物线E:y2=2px(p>0),圆C与抛物线E的准线交于M、N两点,△MNF的面积为p,其中F是E的焦点.
(1)求抛物线E的方程;
(2)不过原点O的动直线l交该抛物线于A,B两点,且满足OA⊥OB,设点Q为圆C上任意一动点,求当动点Q到直线l的距离最大时直线l的方程.
【答案】(1)y2=4x (2)y=5x﹣20
【解析】
(1)求得圆的圆心和半径,抛物线的焦点和准线方程,由三角形的面积公式和圆的弦长公式,计算可得,可得抛物线的方程;
(2)不过原点的动直线的方程设为,,联立抛物线方程,运用韦达定理和两直线垂直的条件,解方程可得,即有动直线恒过定点,结合图象可得直线时,到直线的距离最大,求得直线的斜率,可得所求方程.
解:(1)圆的圆心,半径为1,
抛物线的准线方程为,,,
由的面积为,可得,即,
可得经过圆心,可得.则抛物线的方程为;
(2)不过原点的动直线的方程设为,,
联立抛物线方程,可得,
设,,,,可得,,
由可得,即,即,解得,
则动直线的方程为,恒过定点,
当直线时,到直线的距离最大,
由,可得到直线的距离的最大值为,
此时直线的斜率为,
直线的斜率为5,可得直线的方程为.
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【题目】设椭圆:的左、右焦点分别为,,下顶点为,椭圆的离心率是,的面积是.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)直线与椭圆交于,两点(异于点),若直线与直线的斜率之和为1,证明:直线恒过定点,并求出该定点的坐标.
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【题目】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点,的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.在平面直角坐标系中,,,点满足.设点的轨迹为,下列结论正确的是( )
A.的方程为
B.在上存在点,使得
C.当,,三点不共线时,射线是的平分线
D.在三棱锥中,面,且,,,该三棱锥体积最大值为12
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【题目】已知曲线 y = x3 + x-2 在点 P0 处的切线平行于直线
4x-y-1=0,且点 P0 在第三象限,
⑴求P0的坐标;
⑵若直线, 且 l 也过切点P0 ,求直线l的方程.
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【题目】已知抛物线的焦点恰好是椭圆的右焦点.
(1)求实数的值及抛物线的准线方程;
(2)过点任作两条互相垂直的直线分别交抛物线于、和、点,求两条弦的弦长之和的最小值.
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【题目】如图所示,在底面为正方形的四棱锥P—ABCD中,AB=2,PA=4,PB=PD=,AC与BD相交于点O,E,G分别为PD,CD中点,
(1)求证:EO//平面PBC;
(2)设线段BC上点F满足BC=3BF,求三棱锥E—OFG的体积.
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