Question

已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x²+y²=-2y+3，直线l经过点（1，0）且与直线x-y+1=0垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为（　　）

• A、1
• B、

  2

• C、2
• D、2

  2

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,三角形的面积公式

专题：计算题,直线与圆

分析：将圆C化成标准方程，得到圆心为C（0，-1）、半径为2．由垂直的两直线斜率的关系算出直线l的斜率为1，可得l的方程为x+y-1=0，进而算出圆心C到l的距离d=

2

，再根据垂径定理算出l被圆C截得的弦长|AB|=2

2

．最后由点到直线的距离公式算出原点O到AB的距离，根据三角形的面积公式即可算出△OAB的面积．

解答： 解：∵圆C的方程为x²+y²=-2y+3，∴化成标准方程，可得x²+（y+1）²=4，
由此可得圆的圆心为C（0，-1）、半径为2．
∵直线x-y+1=0的斜率为1且与直线l垂直，直线l经过点（1，0），
∴直线l的斜率为k=-1，可得直线l的方程为y=-（x-1），即x+y-1=0．
因此，圆心C到直线l的距离d=

|0-1-1|

2

=

2

．
∴直线l被圆C截得的弦长|AB|=2

r2-d2

=2

4-2

=2

2

，
又∵坐标原点O到AB的距离为d'=

|0+0-1|

2

=

2

2

，
∴△OAB的面积为S=

1

2

|AB|×d'=

1

2

×2

2

×

2

2

=1．
故选：A

点评：本题给出满足条件的直线与圆，求直线被圆截得的弦AB与原点O构成三角形的面积．着重考查了点到直线的距离公式、直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．