Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=1，且c2+a2-

3

ac=1．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）求

3

c-2a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由c2+a2-

3

ac=1利用余弦定理可得 cosB 的值，从而求得B的值．
（II）由正弦定理可得，三角形外接圆的直径2r=

b

sinB

=2，由此求得

3

c-2a=2

3

sinC-4sinA，再利用两角和的正弦、余弦公式化简为 2cos（A+

π

6

），根据 A+

π

6

的范围
求出2cos（A+

π

6

）的范围，从而得到

3

c-2a的取值范围．

解答：解：（I）由c2+a2-

3

ac=1利用余弦定理可得 cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-1

2ac

=

3

2

，
∵0＜B＜π，∴B=

π

6

．
（II）由正弦定理可得，三角形外接圆的直径2r=

b

sinB

=2，
∴

3

c-2a=2

3

sinC-4sinA=2

3

sin（

5π

6

-A）-4sinA=2

3

（

1

2

cosA+

3

2

sinA）-4sinA
=

3

cosA-sinA=2cos（A+

π

6

）．
∵0＜A＜

5π

6

，∴

π

6

＜A+

π

6

＜π，
∴-1＜cos（A+

π

6

）＜

3

2

，
∴-2＜2cos（A+

π

6

）＜

3

，
故

3

c-2a的取值范围为（-2，

3

）．

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和的正弦、余弦公式，求三角函数的最值，属于中档题．