Question

（2012•安徽模拟）如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它的前一项的平方差是同一个常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差．
（Ⅰ）若数列{a_n}既是等方差数列，又是等差数列，求证：该数列是常数列；
（Ⅱ）已知数列{a_n}是首项为2，公方差为2的等方差数列，数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足an2=2n+1bn．若不等式2n•Sn＞m•2n-2an2对?n∈N^*恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题an+12-an2=an2-an-12，通过分解因式，利用{a_n}为等差数列，设公差为d，求出d=0，说明{a_n}是常数列．
（Ⅱ）通过{an2}为首项为4，公差为2的等差数列，求出

a

2 n

，由an2=2n+1bn得b_n，利用错位相减法求出S_n，通过不等式2n•Sn＞m•2n-2an2，推出m-3＜

3n+1

2n

恒成立，由归纳法原理推出n≥4时，3k+1＜2^k，求出m的取值范围为m≤3．

解答：解：（Ⅰ）依题an+12-an2=an2-an-12
⇒（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）
又{a_n}为等差数列，设公差为d，
则-d(an+1+an-an-an-1)=0⇒2d2=0⇒d=0
故{a_n}是常数列．（4分）
（Ⅱ）由{a_n}是首项为2，公方差为2的等方差数列．
即{an2}为首项为4，公差为2的等差数列，

a

2 n

=4+2(n-1)=2n+2（6分）
由an2=2n+1bn得bn=

an2

2n+1

=

2n+2

2n+1

=

n+1

2n

Sn=1+

3

22

+

4

23

+…+

n+1

2n

         ①

1

2

Sn=

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

+

n+1

2n+1

  ②⇒

1

2

Sn=1+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n+1

2n+1

=

1

2

+1-

1

2n

-

n+1

2n+1

=

3

2

-

1

2n

-

n+1

2n+1

⇒Sn=3-

n+3

2n

（10分）
不等式2n•Sn＞m•2n-2an2即3•2ⁿ-（n+3）＞m•2ⁿ-4n-4也即（m-3）•2ⁿ＜3n+1，即m-3＜

3n+1

2n

恒成立
由于n=1，2，3时，3n+1＞2ⁿ；n=4时，3n+1＜2ⁿ；
假设n=k（k≥4）时，3k+1＜2^k，
那么2^k+1=2•2^k＞2（3k+1）=3（k+1）+1+（3k-2）＞3（k+1）+1，
由归纳法原理知：n≥4时，3k+1＜2^k，
所以

3n+1

2n

＞0⇒m-3≤0，
故m的取值范围为m≤3（14分）

点评：本题考查新定义的应用，数列特征的判断，数列求和的错位相减法的应用，转化思想，计算能力．