已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn=qq-1(an-1)(n∈N*.q是大于0的常数.且q≠1).数列{bn}是公比不为q的等比数列.cn=an+bn．(Ⅰ)求数列{an}的通项公式,(Ⅱ)设q=2.bn=3n.是否存在实数λ.使数列{cn+1+λcn}是等比数列?若存在.求出所有可能的实数λ的值.若不存在说明理由,(Ⅲ)数列{cn}是否能为等比数列?若能.请� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项a_n满足S_n=

q-1

（a_n-1）（n∈N^*，q是大于0的常数，且q≠1），数列{b_n}是公比不为q的等比数列，c_n=a_n+b_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设q=2，b_n=3ⁿ，是否存在实数λ，使数列{c_n+1+λc_n}是等比数列？若存在，求出所有可能的实数λ的值，若不存在说明理由；
（Ⅲ）数列{c_n}是否能为等比数列？若能，请给出一个符合的条件的q和b_n的组合，若不能，请说明理由．

（Ⅰ）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

q-1

(an-1)-

q-1

(an-1-1)，
整理得a_n=qa_n-1
又由S1=a1=

q-1

(a1-1)，得a₁=q
结合q＞0知，数列a_n是首项为q公比为q的等比数列，
∴a_n=q•q^n-1=qⁿ
（Ⅱ）结合（Ⅰ）知，当q=2时，a_n=2ⁿ，所以c_n=2ⁿ+3ⁿ
假设存在实数λ，使数列c_n+1+λc_n是等比数列，则对任意n≥2有
（c_n+1+λc_n）²=（c_n+2+λc_n+1）（c_n+λc_n-1），将c_n=2ⁿ+3ⁿ代入上式，得：
[2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹+λ（2ⁿ+3ⁿ）]²=[2ⁿ⁺²+3ⁿ⁺²+λ（2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹）]•[2ⁿ+3ⁿ+λ（2^n-1+3^n-1）]，
即[（2+λ）2ⁿ+（3+λ）3ⁿ]²=[（2+λ）2ⁿ⁺¹+（3+λ）3ⁿ⁺¹][（2+λ）2^n-1+（3+λ）3^n-1]，
整理得

（2+λ）（3+λ）•2ⁿ•3ⁿ=0，解得λ=-2或λ=-3．
故存在实数实数λ=-2或-3，使使数列c_n+1+λc_n是等比数列．
（Ⅲ）数列{c_n}不可能为等比数列．
理由如下：设等比数列{b_n}的公比分别为p，则由题设知p≠q，则c_n=qⁿ+b₁p^n-1
为证{c_n}不是等比数列只需证c₂²≠c₁•c₃．
事实上，c₂²=（q²+b₁p）²=q⁴+2q²b₁p+b₁²p²，①
c₁•c₃=（q+b₁）（q³+b₁p²）=q⁴+b₁²p²+b₁q（p²+q²），．②
②-①得
c₁c₃-c₂²=b₁q（p²+q²-2pq）
由于p≠q时，p²+q²＞2pq，又q及等比数列的首项b₁均不为零，
所以c₁c₃-c₂²≠0，即c₂²≠c₁•c₃．故{c_n}不是等比数列．

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