Question

已知a>0,函数f(x)=-2asin(2x+)+2a+b,当x∈[0,]时,-5≤f(x)≤1.

(1)求常数a,b的值.

(2)设g(x)=f(x+)且lg g(x)>0,求g(x)的单调区间.

 

Answer 1

(1) a=2,b=-5 (2) kπ+,kπ+),k∈Z

【解析】(1)∵x∈[0,],

∴2x+∈[,].

∴sin(2x+)∈[-,1],

∴-2asin(2x+)∈[-2a,a].

∴f(x)∈[b,3a+b].

又∵-5≤f(x)≤1,∴b=-5,3a+b=1,

因此a=2,b=-5.

(2)由(1)得a=2,b=-5,

∴f(x)=-4sin(2x+)-1,

g(x)=f(x+)=-4sin(2x+)-1

=4sin(2x+)-1,

又由lgg(x)>0得g(x)>1,

∴4sin(2x+)-1>1,

∴sin(2x+)>,

∴2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z,

其中当2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z时,g(x)单调递增,即kπ<x≤kπ+,k∈Z.

∴g(x)的单调增区间为(kπ,kπ+],k∈Z.

又∵当2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z时,g(x)单调递减,即kπ+<x<kπ+,k∈Z.

∴g(x)的单调减区间为(kπ+,kπ+),k∈Z.