已知函数f(x)=lnx+ax+1,a∈R.
(1)求f(x)在x=1处的切线方程.
(2)若不等式f(x)≤0恒成立,求a的取值范围.
(1) y=(a+1)x (2) (-∞,-1]
【解析】(1)∵x>0,f'(x)=+a,
∴f'(1)=a+1,切点是(1,a+1),
所以切线方程为y-(a+1)=(a+1)(x-1),
即y=(a+1)x.
(2)方法一:∵x>0,f'(x)=.
①当a≥0时,x∈(0,+∞),f'(x)>0,f(x)单调递增,显然当x>1时,f(x)>0,f(x)≤0不恒成立.
②当a<0时,x∈(0,-),f'(x)>0,f(x)单调递增,
x∈(-,+∞),f'(x)<0,f(x)单调递减,
∴f(x)max=f(x)极大值=f(-)=ln(-
)≤0,
∴a≤-1,
所以不等式f(x)≤0恒成立时,a的取值范围是(-∞,-1].
方法二:∵x>0,所以不等式f(x)≤0恒成立,等价于ax≤-lnx-1,即a≤,
令h(x)=,
则h'(x)=-+
=
,
当x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,
当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增.
∴h(x)min=h(x)极小值=h(1)=-1,∴a≤-1.
所以不等式f(x)≤0恒成立时,a的取值范围是(-∞,-1].
科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业四十三第七章第二节练习卷(解析版) 题型:解答题
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,则四棱锥A-BB1D1D的体积为 cm3.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业四十一第六章第七节练习卷(解析版) 题型:选择题
已知n是正偶数,用数学归纳法证明时,若已假设n=k(k≥2且为偶数)时命题为真,则还需证明( )
(A)n=k+1时命题成立
(B)n=k+2时命题成立
(C)n=2k+2时命题成立
(D)n=2(k+2)时命题成立
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业十第二章第七节练习卷(解析版) 题型:填空题
若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈[-1,1)时,f(x)=|x|,则函数y=f(x)的图象与函数y=log4|x|的图象的交点的个数为 .
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业十第二章第七节练习卷(解析版) 题型:选择题
函数f(x)=的图象和g(x)=log2x的图象的交点个数是( )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业十六第二章第十三节练习卷(解析版) 题型:解答题
定义F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞).令函数f(x)=F(1,log2(x2-4x+9))的图象为曲线C1,曲线C1与y轴交于点A(0,m),过坐标原点O向曲线C1作切线,切点为B(n,t)(n>0),设曲线C1在点A,B之间的曲线段与线段OA,OB所围成图形的面积为S,求S的值.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业十九第三章第三节练习卷(解析版) 题型:解答题
已知a>0,函数f(x)=-2asin(2x+)+2a+b,当x∈[0,
]时,-5≤f(x)≤1.
(1)求常数a,b的值.
(2)设g(x)=f(x+)且lg g(x)>0,求g(x)的单调区间.
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